¿Por qué volvéis?

Hace ya tiempo que pienso en eliminar esta bitácora.
El Mundo no necesita más cosas inútiles.
Pero, cuando a punto estoy de darle a la tecla de borrado, me asalta siempre la misma duda.
¿Quizá le interese a alguien?
Y la dejo...

¿Por qué volvéis a la memoria mía, tristes recuerdos del placer perdido?

Perfectas en Arquitectura.

Cosas conocidas desde hace mucho:

El hiperboloide de una hoja, hecho de hormigón armado con las dos familas de rectas que lo generan, es una superficie que permite un doble pretensado del hormigón según las direcciones de sus dos familias de rectas, dándole una fuerza a la estructura del contorno que evita el peligro de fisura bajo la acción de la presión hidráulica del agua. Las centrales nucleares cuentan con torres de refrigeración, que son estos hiperboloides, a través de las cuales escapa el vapor que se produce cuando se refrigera el reactor. La forma obedece a esa razón estructural; y permite construir estas estructuras tan grandes (a veces de 50 m de diámetro y 200m de altura) con menos material y soportar el viento sin tener muros tan gruesos o tan reforzados. Esto se consigue convirtiendo parte de la carga vertical del peso de la torre en una compresión a lo ancho de la misma, que contribuye a la rigidez de la estructura.

El paraboloide hiperbólico es la estructura bidimensional que mejor resiste los esfuerzos de presión-tensión. Es un sistema físico en estado de mínima energía. La forma del paraboloide hiperbólico minimiza la deformación de la superficie cuando, debido a cambios por temperatura o por carga, sufre esfuerzos de presión-tensión; minimiza la deformación que ha de sufrir por las tensiones.

Además, tanto el hiperboloide de una hoja como el paraboloide hiperbólico son superficies cercanas a tener curvatura media nula; o sea, cercanas a ser superficies de área mínima, con lo cual, además de las propiedades estructurales, tienen la amabilidad de ser construibles minimizando el gasto en material.

Y a la postre, observamos que el fémur humano es un hiperboloide de una hoja formando la columna en movimiento que soporta el peso de la persona.

Perfectas en Arquitectura.

Tal, dulce suspira ...

...

leve,

breve

son.

...

Humo suave.

Me piden que hable un poco sobre eclipses.

Hablemos un poco.

La Luna, satélite de la tierra (o casi mejor, el compañero terrestre, pues más que un planeta con un satélite el par Tierra-Luna es un planeta doble), está iluminada siempre por el Sol, salvo en el caso que es llamado eclipse.

Considerando la esfera celeste, ver la entrada año de la presente bitácora, La Luna se mueve en una órbita circular sobre la misma que forma un ángulo con la eclíptica de aproximadamente 5º 9’ grados sexagesimales en promedio.

La intersección de los planos de la eclíptica con el plano de la Luna se llama línea de nodos. Nodos es el nombre de los puntos de intersección de las dos órbitas. La posición de los nodos sobre la eclíptica, o sea, la longitud eclíptica, ángulo entre los nodos y el punto Aries, es variable. Conocida la longitud del nodo ascendente y la inclinación de la órbita de la Luna, respecto de la eclíptica, se tiene definida la misma.

Sabemos que la órbita lunar respecto de la Tierra, no es circular, es elíptica. Así, le es aplicable a la misma las leyes de Kepler que son válidas para los planetas respecto del Sol.

Llámasele revolución sidérea al intervalo de tiempo que tarda la Luna en pasar dos veces consecutivas por delante de una estrella de la esfera celeste vista desde la Tierra, y es aproximadamente 27.32 días medios.

Llámasele revolución sinódica, o lunación, al intervalo de tiempo que tarda la Luna en estar en dos posiciones análogas respecto del Sol y la Tierra, por ejemplo, dos conjunciones, y aproximadamente es de 29.53 días. Dicho de otra forma, es el tiempo que tarda la Luna entre dos de sus fases lunares idénticas y consecutivas.

Llámasele revolución trópica al intervalo de tiempo que tarda la Luna en pasar dos veces por el punto Aries.

Llámesele revolución anomalística al intervalo de tiempo que tarda la Luna en pasar dos veces por el perigeo de su órbita.

Llámasele revolución draconítica al intervalo de tiempo que tarda la Luna en pasar dos veces por el nodo ascendente.

Como he dicho, la longitud del nodo varía, y de facto disminuye y efectúa una revolución completa cada 18.66 años (es el periodo de la nutación).

Y a efectos de eclipses hay que saber que el radio de la luna es 0.27 veces el de la Tierra, así como que la distancia de la Luna a la Tierra está entre 55 y 63 veces el radio de la Tierra.

Veamos ahora algo sobre el eclipse de Luna.

Observamos en la figura siguiente que se tiene un cono de sombra generado al interponerse la Tierra a los rayos de luz del Sol. Si la Luna entrase parcialmente el tal cono se observaría un eclipse parcial de la misma, si entrase totalmente sería un eclipse total.
Usando dos veces el teorema de Thales en la figura, se llega a la conclusión de que la distancia desde el centro de la Tierra a O es aproximadamente 217 radios terrestres (aproximando con 109 radios terrestres el radio del Sol, y con 23439 radios terrestres la distancia entre el centro del Sol y el centro de la Tierra). Como la Luna dista de la tierra entre 55 y 63 radios terrestres se tiene que, efectivamente, la Luna podría pasar por el cono de sombra. Ahora bien, al tomar un plano perpendicular al eje del cono y a una distancia de 60 radios terrestres (un promedio entre 55 y 33) se tiene que el corte del plano con el cono es una circunferencia de radio x. Puede calcularse, de nuevo con Thales, que x es aproximadamente 0.7 radios terrestres. Además se tiene que el radio lunar, aparente desde la Tierra, es como máximo de 16’ 43’’ de arco sexagesimal, que es aproximadamente equivalente a 0.27 radios terrestres sobre el plano tomado. Por ello, la Luna efectivamente, cabe por completo dentro del cono de sombra.

Una vez constatado de manera geométrica la evidencia de la posibilidad de existencia de eclipses parciales y totales de Luna, se pueden buscar condiciones necesarias para los mismos.

Si el plano de la órbita lunar fuera el plano de la eclíptica, entonces en cada oposición Sol-Tierra-Luna (o sea en cada plenilunio) se produciría un eclipse de Luna total. Pero como dije, el ángulo entre los dos planos tiene una amplitud de 5º 9’ sexagesimales, por ello, el cono de sombra unas veces pasa por encima de la Luna, otras por debajo. Veamos la siguiente figura.

El Sol se mueve en la eclíptica, la Luna en su órbita, a causa del ángulo entre ellas, cuando Luna y Sol están en oposición, casi siempre la Luna está fuera del cono de sombra y observamos Luna llena sin eclipse. Sin embargo, si ocurriera que en oposición la Luna se encontrase en el nodo, o suficientemente cercano a él, observaríamos un eclipse.

Así, en cada oposición de Luna llena, habría la posibilidad de un eclipse de Luna. Los cálculos a hacer geométricos o analíticos según el tipo de resolución que se desee del problema, consisten en ver en qué momento se tiene la oposición; cuál es la distancia del Sol a la Tierra así como la distancia de la Tierra a la Luna, con ello se tienen las longitudes del cono de sombra, y radio aparente de la Luna; y además se calcula la latitud y la inclinación de la órbita de la Luna respecto del cono. Con todo ello se decidiría si hay o no eclipse, y el tipo del mismo.

En cuanto al problema del eclipse Solar,

son más datos y cuestiones a tener en cuenta, pero se trata de algo similar al Lunar.

[...]

Tal vimos al rayo de la luna llena
fugitiva vela de lejos cruzar,
que ya la hinche en popa la brisa serena,
que ya la confunde la espuma del mar.

También la esperanza blanca y vaporosa
así ante nosotros pasa en ilusión,
y el alma conmueve con ansia medrosa
mientras la rechaza la adusta razón.

[...]

Y ha visto la luna brillar en el cielo
serena y en calma mientras él lloró,
y ha visto los hombres pasar en el suelo
y nadie a sus quejas los ojos volvió,

y él mismo, la befa del mundo temblando,
su pena en su pecho profunda escondió,
y dentro en su alma su llanto tragando
con falsa sonrisa su labio vistió!!!...

[...]

humo süave de quemado aroma
que al aire en ondas a perderse asciende,
rayo de luna que en la parda loma,
cual un broche su cima al éter prende;

silfa que con el alba envuelta asoma
y al nebuloso azul sus alas tiende,
de negras sombras y de luz teñidas,
entre el alba y la noche confundidas.

[...]

Castillo encantado.

—Ahora acabo de creer, Sancho bueno, que aquel castillo o venta que es encantado sin duda, porque aquellos que tan atrozmente tomaron pasatiempo contigo ¿qué podían ser sino fantasmas y gente del otro mundo? Y confirmo esto por haber visto que cuando estaba por las bardas del corral, mirando los actos de tu triste tragedia, no me fue posible subir por ellas, ni menos pude apearme de Rocinante, porque me debían de tener encantado; que te juro por la fe de quien soy que si pudiera subir o apearme, que yo te hiciera vengado, de manera que aquellos follones y malandrines se acordaran de la burla para siempre, aunque en ello supiera contravenir a las leyes de la caballería, que, como ya muchas veces te he dicho, no consienten que caballero ponga mano contra quien no lo sea, si no fuere en defensa de su propia vida y persona, en caso de urgente y gran necesidad.

Ave imperator, morituri te salutant.

Quisiera disipar algunas dudas que algunos alumnos/as tienen sobre el calendario.

Primero, por favor, leer las tres entradas de la presente bitácora: año, día, segundo.

En las entradas aludidas hablé, entre otras cosas, del año trópico y del día medio. Es claro que no hay ningún motivo astronómico para que exista relación entera entre ellos; de facto se tiene que la duración de un año trópico es aproximadamente 365.242199 días medios. Las civilizaciones, antes de Julio César, generalmente usaban calendarios lunares. Pero, al no haber tampoco relación astronómica entera entre los periodos lunares y los solares, los calendarios lunares no son muy eficaces a efectos de la agricultura y ganadería. Julio Cesar impuso el calendario solar dotando al año de 365 días añadiendo cada 4 años un día más para compensar el exceso. Tal imposición se llevó a cabo el año 45 A.C., y para corregir el calendario anteriormente usado en Roma además de hacer coincidir el equinoccio de primavera el 21 de marzo, añadió 90 días tal año, así que lo dejó en 455 días.

Julio César hubiera resuelto con acierto el ajuste del periodo solar con los días, en su calendario, si el exceso decimal fuese exactamente 0.25 días. Sin embargo, eso no es cierto. A causa de la diferencia decimal restante se seguía acumulando error y el año 325 D.C. el error consistía ya en 3 días. Tal año en el Concilio de Nicea se decidió añadir esos tres días, dejando nuevamente el equinoccio de primavera el 21 de marzo. Pero no se corrigió el error y a partir de ese día de nuevo se fue acumulando la diferencia.

Para colmo, en ese mismo Concilio de Nicea, se decidió que la fecha de la Pascua de Resurrección estuviera ligada a un evento astronómico lunar y solar a la vez. Decidieron que sería el domingo siguiente después de la primera luna llena inmediatamente posterior al equinoccio de primavera.

En 1582 el error era ya de 10 días.

El Papa Gregorio XIII pidió a sus astrónomos que arreglasen de una vez por todas el asunto, e impuso a los reinos católicos el siguiente cambio: Dado que la diferencia anual con la reforma introducida por Julio César es de 0.007801 días al año, 3.1204 días cada 400 años, ordenó que al día 4 de octubre de 1582 le siguiera el 15 de octubre. Y dispuso, así mismo, que cada 400 años se suprimieran 3 días, de tal forma que los años en los que se suprimiría un día fuesen los años correspondientes a los centenares cuyas cifras centenas no fueran múltiplos de 4. O sea, los años correspondientes a las centenares (…, 1900, 2000, 2100, 2200, 2300, 2400,…) son bisiestos si sus centenas son divisibles por 4. Así, el 2000 fue bisiesto y lo será el 2400, los otros no.

Esta imposición llamada reforma gregoriana, y calendario gregoriano, aún comete un error de 1.204 días cada 4000 años.

Rodeada manera.

Transformación isométrica: catenoide - helicoide recto.

Enlace exterior.

—Mirad, Sancho —replicó Teresa—, después que os hicistes miembro de caballero andante, habláis de tan rodeada manera, que no hay quien os entienda.

Osculador.

[...]
y teniendo yo más alma
¿tengo menos libertad?
[...]

Infinidad 2.

Para que podáis ver otra infinidad de posibilidades.

Mosaico p6 interactivo.

[...]¡Ay, cómo lloran y lloran,
¡ay! ¡ay! cómo están llorando!

Hombre libre.

Trivium: Gramática, Dialéctica, Retórica.
Quadrivium: Aritmética, Geometría, Astronomía, Música.

Y díjole: Precesión.

—Por buen agüero he tenido, hermanos, haber visto lo que he visto, porque estos santos y caballeros profesaron lo que yo profeso, que es el ejercicio de las armas, sino que la diferencia que hay entre mí y ellos es que ellos fueron santos y pelearon a lo divino y yo soy pecador y peleo a lo humano. Ellos conquistaron el cielo a fuerza de brazos, porque el cielo padece fuerza, y yo hasta agora no sé lo que conquisto a fuerza de mis trabajos; pero si mi Dulcinea del Toboso saliese de los que padece, mejorándose mi ventura y adobándoseme el juicio, podría ser que encaminase mis pasos por mejor camino del que llevo.

—Dios lo oiga y el pecado sea sordo —dijo Sancho a esta ocasión.

Admiráronse los hombres así de la figura como de las razones de don Quijote, sin entender la mitad de lo que en ellas decir quería. Acabaron de comer, cargaron con sus imágines y, despidiéndose de don Quijote, siguieron su viaje.

Quedó Sancho de nuevo, como si jamás hubiera conocido a su señor, admirado de lo que sabía, pareciéndole que no debía de haber historia en el mundo ni suceso que no lo tuviese cifrado en la uña y clavado en la memoria, y díjole:

Efemérides 2007 del Sol y la Polar.

¿Es verdad lo que ver creo?

Efemérides 2007 del Sol y la Polar.

[...]

¿Es verdad lo que ver creo?
¿Fue un ensueño lo que vi
en mi loco devaneo?
¿Fue verdad lo que fingí?
¿Es mentira lo que veo?

Aprémianle sujeto.

Dibujos sobre la generación de los paraboloides hiperbólicos (paraboloides reglados), sus planos directores y generación reglada.

[...] Y a tan continuo vértigo,
a tan funesto encanto,
a tan horrible canto,
a tan tremenda lid;
entre los brazos lúbricos
que aprémianle sujeto,
del hórrido esqueleto,
entre caricias mil: [...]

Llórame, sí.

Dibujos sobre la generación de los paraboloides elípticos (paraboloides no reglados) y sus planos cíclicos.

[...] Y jamás turbe mi infeliz memoria
con amargos recuerdos tus placeres;
goces te dé el vivir, triunfos la gloria,
dichas el mundo, amor otras mujeres:
Y si tal vez mi lamentable historia
a tu memoria con dolor trajeres,
llórame, sí; pero palpite exento
tu pecho de roedor remordimiento. [...]

Tu seco corazón.

Dibujos sobre la generación de los hiperboloides de dos hojas (hiperboloides no reglados, hiperboloides elípticos), de sus planos cíclicos y cono director.

[...] si el cuadro de tus breves glorias viste
pasar como fantástica quimera,
y si la voz de tu conciencia oíste
dentro de ti gritándote severa;
si en fin entonces tu llorar quisiste,
y no brotó una lágrima siquiera
tu seco corazón, y a Dios llamaste,
y no te escuchó Dios, y blasfemaste; [...]

Alma recogida.

Dibujo sobre la generación reglada de los hiperboloides de una hoja.

[...] Hay una voz secreta, un dulce canto,
que el alma sólo recogida entiende;
un sentimiento misterioso y santo,
que del barro al espíritu desprende:
agreste, vago y solitario encanto
que en inefable amor el alma enciende,
volando tras la imagen peregrina
el corazón de su ilusión divina. [...]

Ha de menester mi favor y ayuda.

Dibujos sobre elementos, cono director y planos cíclicos de los hiperboloides de una hoja.

—Gracias doy al cielo por la merced que me hace, pues tan presto me pone ocasiones delante donde yo pueda cumplir con lo que debo a mi profesión y donde pueda coger el fruto de mis buenos deseos. Estas voces, sin duda, son de algún menesteroso o menesterosa que ha menester mi favor y ayuda.

Algo se me ha de pegar.

Dibujo sobre generación de hiperboloides reglados (hiperboloides de una hoja, hiperboloides hiperbólicos).

—Sí, que algo se me ha de pegar de la discreción de vuestra merced —respondió Sancho—, que las tierras que de suyo son estériles y secas, estercolándolas y cultivándolas vienen a dar buenos frutos. Quiero decir que la conversación de vuestra merced ha sido el estiércol que sobre la estéril tierra de mi seco ingenio ha caído; la cultivación, el tiempo que ha que le sirvo y comunico; y con esto espero de dar frutos de mí que sean de bendición, tales que no desdigan ni deslicen de los senderos de la buena crianza que vuesa merced ha hecho en el agostado entendimiento mío.

Hasta me diste un nombre.

Dibujos sobre elipsiodes respecto a los planos cíclicos, puntos umbilicales y planos polares.

[...] Tú me engendraste mortal,
y hasta me diste un nombre,
pusiste en mí tus tormentos,
en mi alma tus rencores,
en mi mente tu ansiedad,
en mi pecho tus furores,
en mi labio tus blasfemias
e impotentes maldiciones;
me erigiste en tu verdugo,
me tributaste temores,
y entre Dios y yo partiste
el imperio de los orbes. [...]

Miró sus suspiros.

Dibujo sobre generación de elipsoides y sus planos cíclicos.

[...] miró sus suspiros llevarlos el viento,
sus lágrimas tristes perderse en el mar,
sin nadie que acuda ni entienda su acento,
el cielo y el mundo a su mal... [...]

Chasles.

Esquema de las proyecciones, razones dobles y cónicas del problema de la foto.

Amargo recuerdo pasado.

Dibujo sobre propiedades focales de cónicas (asíntitas, tangentes, Monge).

Del hondo del pecho profundo gemido,
crujido del vaso que estalla al dolor,
que apenas medroso lastima el oído,
pero que punzante rasga el corazón;
gemido de amargo recuerdo pasado,
de pena presente, de incierto pesar,
mortífero aliento, veneno exhalado
del que encubre el alma ponzoñoso mar; [...]

Por un beso.

Dibujo sobre construcciones y circunferencia focal de cónicas.

Por una mirada, un mundo;
por una sonrisa, un cielo;
por un beso... yo no sé
que te diera por un beso.

Sus ojos a los ojos de ella.

Dibujo sobre la excentricidad de cónica (foco-directriz).

[...] Cifró en don Félix la infeliz doncella
toda su dicha, de su amor perdida;
fueron sus ojos a los ojos de ella
astros de gloria, manantial de vida.
Cuando sus labios con sus labios sella
cuando su voz escucha embebida,
embriagada del dios que la enamora,
dulce le mira, extática le adora.

Ni placer ni alegría.

Dibujo sobre la generación de elementos de cónicas.

[...] Soy la virgen misteriosa
de los últimos amores,
y ofrezco un lecho de flores
sin espinas ni color,
y amante doy mi cariño
sin vanidad ni falsía;
no doy placer ni alegría:
mas es eterno mi amor. [...]

Y ya van 19.

Otro curso..., 19 van ya;
19 años de servicio.
El tiempo pasa...,
mi época ya pasó.

Me piden unos dibujos sobre cónicas; haré algunos a mano alzada.

Digujo sobre la definición de cónicas.

Débil mortal no te asuste
mi oscuridad ni mi nombre; [...]

.VALE.

—Señores —dijo don Quijote—, vámonos poco a poco, pues ya en los nidos de antaño no hay pájaros hogaño. Yo fui loco y ya soy cuerdo; fui don Quijote de la Mancha y soy agora, como he dicho, Alonso Quijano el Bueno.


Cual suele la luna tras lóbrega nube
con franjas de plata bordarla en redor,
y luego si el viento la agita, la sube
disuelta a los aires en blanco vapor:

Así vaga sombra de luz y de nieblas,
mística y aérea dudosa visión,
ya brilla, o la esconden las densas tinieblas
cual dulce esperanza, cual vana ilusión.

.VALE.

Fractal 2. Dimensión de Hausdorff.

En general, un fractal no tiene por qué tener estructura homotética, y así, no posee dimensión de homotecia; además ni siquiera tiene porqué ser algo con autosemenjanza. Se tiene entonces el problema de dar una definición matemática formal de fractal que además recoja su nivel de escabrosidad y eficacia de ocupar espacio. El mejor intento de resolución de este problema consiste en la llamada: dimensión de Hausdorff.

La dimensión de Hausdorff es una generalización del concepto de dimensión. Consideremos un ente geométrico E (variedad topológica inmersa en el 3-espacio afín euclídeo). Tomemos una unión de bolas, de diámetro menor que un número fidado d>0, tal que E esté incluido en esa unión. Esa unión es conocida como d-recubrimiento de E, y el número de bolas del d-recubrimiento puede ser infinito numerable. Fijemos ahora otro número s>0. Sea ahora la serie numérica consistente en la suma de los diámetros, elevados a s, de la bolas del d-recubrimento. Tenemos entonces, si la suma de esta serie numérica es convergente, un número dado por d, s y el d-recubrimiento, o el infinito en caso contrario; llamaremos a esta suma S(d,s,d-recubrimiento). Consideremos, seguidamente, el conjunto B, de los infinitos números S(d,s,d-recubrimiento), fijando d y s, pero variando los posibles d-recubrimientos. Sea entonces el ínfimo del conjunto B; y llamamos a este ínfimo: H_d^s. Pasemos entonces al límite de H_d^s cuando d tiende a cero. Tal límite, que puede ser ininito, es la llamada s-medida de Hausdorff de E y la notamos como H^s(E).

La medida de Hausdorff, que está siempre definida y se encuentra entre o e infinito, consiste en la longitud de E cuando s es 1, en el área de E si s es 2, en el volumen de E si es 3, etc; ahora bien, está definida para todos los valores de s>0. Así, podemos ver qué ocurre con la s-medida de Hausdorff de E según va variando el parámetro s; y obtenemos que: existe un valor D tal que H^s(E) es infinita si D>s, y H^s(E) es 0 si s>D . A este número D se le conoce como dimensión de Hausdorff de E, D_H(E).

Cuando D_H(E) es un número no entero decimos que E es un fractal.

En la práctica la dimensión de Hausdorff no es fácil de calcular y por ello se suele substituir su cálculo por otro que se le aproxima. Tal aproximación es la llamada dimensión fractal.

Consideremos de nuevo el ente geométrico E. Fijado un número d>0 consideremos el número menor de bolas de radio d, tal que E esté incluido en la unión de esas bolas; llamemos N(E,d) a tal número. Sea D_d(E) el cociente de logaritmos log(N(E,d))/log(1/d). Y pasemos al límite D_d(E) cuando d tiende a cero. Llamamos D(E) tal límite, y es conocido como dimensión fractal. Se tiene que D(E) es una aproximación de D_H(E) y que D(E) es mayor o igual que D_H(E).

En la práctica realmente se calcula la dimensión fractal por un método equivalente de cálculo. Se toma N_n el número de cajas que intersecan al conjunto E de un mallado cuadricular de anchura 1/2ⁿ y se pasa al límite cuando n tiende a infinito el cociente de logaritmos log(N_n)/log(2ⁿ).

Así por ejemplo, si E es la línea de Koch, se tiene que D(E)=1.26>D_H(E)=1.18.

Esta dimensión fractal, es aplicable a entes geométricos no necesariamente fractales; es una medida de la eficacia de ocupar espacio. Así, tiene utilidad práctica, entre otras muchas cosas, en cuestiones de urbanismo. O por ejemplo, si calculamos la dimensión fractal de líneas que marcan la frontera entre países, o líneas que marcan una costa marítima, nos da una medida de la escabrosidad de las mismas.

Fractal 1. Dimensión de homotecia.

Consideremos una entidad geométrica T (variedad topológica inmersa en el 3-espacio afín euclídeo) constituida de la siguiente forma: T está compuesta por la unión de n partes; esas n partes son la imagen por un desplazamiento de una sub-entidad geométrica S; T es homotética a S (T=h_r(S), con h_r homotecia de razón de r).

Llamaremos entonces dimensión de homotecia de T a la cantidad: log_r(n) (donde log_r(n) es el logaritmo en base r de n). O dicho al revés: la dimensión de homotecia de T es el número d tal que r^d=n.

Podemos observar que la razón de homotecia de un segmento es 1, con n=r. La de un cuadrado es 2, con n=4 y r=2. La de un cubo es 3, con n=8 y r=2.

La dimensión de homotecia de la línea

es aproximadamente 1.26, con n=4 y r=3. Esta línea, dibujada tal cual está aquí, no es un fractal, tiene longitud finita y en todo punto, salvo una cantidad finita, tiene recta tangente. Ahora bien, si la repetición de las sub-entidades fuese infinita, en tal caso, sí sería un fractal y el fractal sería el conocido como línea de Koch.

La dimensión de homotecia del siguiente ente geométrico

es aproximadamente 1.58, con n=3 y r=2. Este ente, dibujado tal cual está aquí, no es un fractal. Ahora bien, si la repetición de las sub-entidades fuese infinita, en tal caso, sí sería un fractal y el fractal sería el conocido como triángulo de Sierpinski.

La dimensión de homotecia de este otro ente geométrico

es aproximadamente 1.89, con n=8 y r=3. Este ente, dibujado tal cual está aquí, no es un fractal. Ahora bien, si la repetición de las sub-entidades fuese infinita, en tal caso, sí sería un fractal y el fractal sería el conocido como alfombra de Sierpinski.

Y la dimensión de homotecia de este ente geométrico

es aproximadamente 2.32, con n=5 y r=2. Este ente, dibujado tal cual está aquí, no es un fractal. Ahora bien, si la repetición de las sub-entidades fuese infinita, en tal caso, sí sería un fractal y el fractal sería el conocido como tetraedro de Sierpinski.

Y la dimensión de homotecia del siguiente ente geométrico

es aproximadamente 2.72, con n=20 y r=3. Este ente, dibujado tal cual está aquí, no es un fractal. Ahora bien, si la repetición de las sub-entidades fuese infinita, en tal caso, sí sería un fractal y el fractal sería el conocido como esponja de Menger.

Un edificio con la estructura de alguno de estos ejemplos, sería semejante a un fractal, pero no sería un fractal; la repetición de las sub-partes no se produciría de manera infinita en el edificio.

Todos los fractales aquí aludidos tienen dimensión topológica 1; mientras que los entes dibujados, no fractales, tienen dimensión topológica 1, 2 o 3 según el caso. Ninguno de los fractales aludidos tiene longitud finita, ni tiene recta tangente en ninguno de sus puntos.

Vemos que la dimensión de homotecia de los fractales mide su grado de escabrosidad y discontinuidad. Mide el grado de irregularidad del ente fractal, marcando cuál es su eficacia para ocupar espacio; y resulta que hay líneas que son más eficaces que otras al ocupar espacio, así la línea de Koch (1'26) es menos eficaz que el triángulo de Sierpinski (1.58). Este concepto puede ser utilizado, entre otras cosas, para estudios de urbanismo; una línea que dé la distribución de calles puede pensarse como aproximación de un fractal, igual que los dibujos anteriores eran aproximaciones de los fractales nombrados.

Pero, generalmente los fractales no tienen configuración homotética y por tanto no tienen dimensión de homotecia. Entonces ¿qué es un fractal y cómo medimos su grado de ocupación de espacio?

Será la dimensión de Hausdorff la que dará la respuesta.

Más proyectos: Superficies Nurbs.

Culmino la asignatura "Superficies geométricas arquitectónicas" con las llamadas: Superficies nurbs (non uniform rational B-splines).

¿Podemos encontrar alguna obra arquitectónica basada en superficies nurbs?


Sala de conciertos Walt Disney.

Infinidad.

Para que podáis ver una infinidad de posibilidades.

Mosaico p6m interactivo.

[...]
¡Ay, cómo lloran y lloran,

¡ay! ¡ay! cómo están llorando!

Más proyectos: curvatura media nula.

Superficies mínimas: superficies que tienen su curvatura media H constantemente nula (H = semisuma de las curvaturas principales). ¿Será que sirven en Arquitectura?

¿Será que si se desea levantar una estructura sorprendentemente ligera donde las tensiones interiores se anulen, permitiendo a la vez economía de material y forma atrevida, las superficies mínimas sirven para algo?

¿Será que el Estadio Olímpico de Múnich está techado con una superficie mínima?